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ピザを切り分けよう-平面図形問題解答と解説

平面を分けていくということはどういうことでしょうか？

何気なく線を引いてしまうことが多いと思います。

線の引き方が問題になっていくことが多いのですが順に考えていきましょう。

1.始め

1つの平面があるとします。当然平面の数は1個です。…図1

2.1本目

次にこの平面に1本直線を引いてみます。
線の引き方は自由です。ちょうど真ん中に引くことが多いですが、どこに引いてもいいわけです。
この場合、平面は2個になります。…図2

3.2本目

線の引き方が2種類になります。
（1）一つ目は直線に交差するように引く引き方です。
この場合は1本の直線によって分けられた2個の平面にもう1本の直線を交差させることにより、もう2個平面が増えることになります。よって平面の数は4個です。…図3
（2）二つ目の線の引き方は1本目引いたとき、円と交わっている点を通って引く引き方です。
（ここでは円を切るので、こういう考え方をしますが、本来はじめの平面は1個で無限であるとすると、この考え方はありません。）
この場合は１本の直線によって分けられた2個の平面を交点を通ってどちらか1個の平面を分けるように引きますから平面の個数は1個増えるだけです。3個となります。…図4

4.3本目

3本目は2本目を引いたそれぞれについて引き方を考えないといけません。
（1）図3で作った平面に１本直線を引くことを考えていきます。
ここでの引き方は次の６通りが考えられます。

1.交点を通る2つの平面を通る …4＋2＝6個	2.1本の直線だけに交わる2つの平面を通る …4＋2＝6個	3.2本の直線に交わる3個の平面を通る …4＋3＝7個

4.円と1つの直線の交点を通る2つの平面を通る(2.と同じ) …4＋2＝6個	5.円と2つの直線との交点を通る1つの平面を通る …4＋1＝5個	6.2本の直線と交わらない 1つの平面を通る …4＋1＝5個

（2）図4で作った平面に1本直線を引くことを考えます。

ここでの引き方は次の5通りが考えられます。

1.2本の直線と交わる3つの平面を通る …3＋3＝6個	2.円と直線の交点を通り他の直線と交わる2つの平面を通る …3＋2＝5個	3.円と2本の直線との交点を通る1つの平面を通る …3＋1＝4個

4.2本の直線と交わらない1つの平面を通る …3＋1＝4個	5.円と2本の直線との交点を通る1つの平面を通る …3＋1＝4個

よって、これらの切り方で、種類としては4個、5個、6個、7個の4種類あります。

さて、ここまで考えていくと切り方によって平面の数がどう増えるかがわかるのではないでしょうか？

つまり、線を引くとき、いくつの平面を通るかを考えれば、その通る平面の数だけ新たに平面が増えることになります。

つまり、この問題の場合は最大の直線と交わるようにします。ですから、2本あれば2本に交わるようにしますから、2本と交わるということは3つの平面を通ります。よって３個平面は増えます。
簡素化して考えると、今2本あれば3つの平面を通る（3個増）、3本あれば4つの平面を通る（4個増）というように考えられます。
この結果、
何本かの直線を引いたときにできる平面の最大数は